Question:** La somme des carrés de deux entiers consécutifs est 85. Trouvez les entiers.
["Question : La somme des carrés de deux entiers consécutifs est 85. Trouvez les entiers.", "Se poser la question de savoir quels sont deux entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 85 est un classique des énigmes mathématiques. Cette expérience intellectuelle rept accessible à tous, même sans connaissances avancées, grâce à une approche simple basée sur l’algèbre élémentaire. Dans cet article, nous allons résoudre pas à pas ce problème et découvrir les entiers recherchés.", "---", "### Comprendre le problème", "Soit ( n ) un entier. Les deux entiers consécutifs sont donc ( n ) et ( n+1 ). La question indique que :", "[\nn^2 + (n+1)^2 = 85\n]", "Notre objectif est de résoudre cette équation simple afin d’identifier la ou les valeurs de ( n ), puis d’identifier les deux entiers.", "---", "### Démonstration algébrique", "Développons l’expression :", "[\nn^2 + (n+1)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 2n + 1\n]", "Nous obtenons l’équation :", "[\n2n^2 + 2n + 1 = 85\n]", "Soustrayons 85 des deux côtés :", "[\n2n^2 + 2n + 1 - 85 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2n^2 + 2n - 84 = 0\n]", "Divisons toute l’équation par 2 pour simplifier :", "[\nn^2 + n - 42 = 0\n]", "Nous disposons maintenant d’une équation du second degré simple à résoudre.", "---", "### Résoudre l’équation quadratique", "Utilisons la formule classique pour les équations ( ax^2 + bx + c = 0 ) :", "[\nn = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }\n]", "Ici, ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -42 ).", "Calculons le discriminant :", "[\n\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-42) = 1 + 168 = 169\n]", "La racine carrée du discriminant est ( \sqrt{169} = 13 ).", "Les solutions sont donc :", "[\nn = \frac{ -1 \pm 13 }{ 2 }\n]", "Calculons les deux valeurs possibles :", "- ( n = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 )\n- ( n = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 )", "---", "### Trouver les deux entiers consécutifs", "Cas 1 : Si ( n = 6 ), les entiers sont ( 6 ) et ( 7 ).", "Vérification :\n( 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 ) ✓", "Cas 2 : Si ( n = -7 ), les entiers sont ( -7 ) et ( -6 ).", "Vérification :\n( (-7)^2 + (-6)^2 = 49 + 36 = 85 ) ✓", "Les deux couples d’entiers consécutifs possibles sont donc :\n- ( 6 ) et ( 7 )\n- ( -7 ) et ( -6 )", "---", "### Conclusion", "La somme des carrés de deux entiers consécutifs est 85, et les couples d’entiers qui satisfont cette condition sont ( 6, 7 ) et ( -7, -6 ). Cette énigme illustre parfaitement comment, avec un raisonnement simple et des bases en algèbre, on peut résoudre efficacement un problème mathématique qui peut sembler complexe au premier abord.", "Pour devenir plus à l’aise avec ce type de raisonnement, n’hésitez pas à vous entraîner avec d’autres énigmes de ce genre — elles améliorent non seulement vos compétences mathématiques, mais aussi votre logique et votre esprit analytique.", "---", "Mots-clés SEO : somme des carrés entiers consécutifs, équation entiers consécutifs 85, résoudre n² + (n+1)² = 85, problème mathématique facile, Comment trouver deux entiers dont les carrés somment 85."]
